Математический анализ Примеры

$y = 3 (\cos (x) + \sin (x)) \cdot (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))]$ .

$3 \frac{d}{d x} [(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x) + \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x) - \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) - \sin (x)] + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Этап 3

По правилу суммы производная $\cos (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Этап 5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Этап 6

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x) + \sin (x)])$

Этап 7

По правилу суммы производная $\cos (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Этап 8

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]))$

Этап 9

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x)))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 ((\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x))) + 3 ((\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x)))$

Этап 10.2

Избавимся от скобок.

$3 (\cos (x) + \sin (x)) (- \sin (x) - \cos (x)) + 3 (\cos (x) - \sin (x)) (- \sin (x) + \cos (x))$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$3 (- \sin (x) - \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 (- \sin (x)) + 3 (- \cos (x))) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$(- 3 \sin (x) + 3 (- \cos (x))) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$(- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.4

Развернем $(- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)) (\cos (x) + \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 \sin (x) (\cos (x) + \sin (x)) - 3 \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1.1

Умножим $- 3 \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1.1.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.5.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.5.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 {\sin (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.5.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos (x) \cos (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.5.1.2

Умножим $- 3 \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.5.1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.5.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 {\cos (x)}^{1 + 1} - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.5.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.5.2

Изменим порядок множителей в $- 3 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 3 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.5.3

Вычтем $3 \cos (x) \sin (x)$ из $- 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \sin^{2} (x) - 3 \cos^{2} (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.6

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x)) - 3 \cos^{2} (x) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.7

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x)) - 3 (\cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.8

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (\sin^{2} (x)) - 3 (\cos^{2} (x))$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.9

Применим формулу Пифагора.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 \cdot 1 + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.10

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + 3 (- \sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.11

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + (3 (- \sin (x)) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.12

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 + (- 3 \sin (x) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.13

Развернем $(- 3 \sin (x) + 3 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 3 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- \sin (x)) + 3 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 10.4.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) - 3 \sin (x) (- \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 10.4.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.14.1.1

Умножим $- 3 \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.14.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 10.4.14.1.1.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 10.4.14.1.1.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 10.4.14.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 {\sin (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 10.4.14.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \cos (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 10.4.14.1.2

Умножим $3 \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.14.1.2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 10.4.14.1.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 10.4.14.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 {\cos (x)}^{1 + 1} + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 10.4.14.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 10.4.14.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \sin (x) \cos (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x)$

Этап 10.4.14.2

Изменим порядок множителей в $- 3 \sin (x) \cos (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 3 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 3 \cos (x) \sin (x)$

Этап 10.4.14.3

Вычтем $3 \cos (x) \sin (x)$ из $- 3 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 \sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x)$

Этап 10.4.15

Вынесем множитель $3$ из $3 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x)$

Этап 10.4.16

Вынесем множитель $3$ из $3 \cos^{2} (x)$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$

Этап 10.4.17

Вынесем множитель $3$ из $3 (\sin^{2} (x)) + 3 (\cos^{2} (x))$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Этап 10.4.18

Применим формулу Пифагора.

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3 \cdot 1$

Этап 10.4.19

Умножим $3$ на $1$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3$

Этап 10.5

Объединим противоположные члены в $- 6 \cos (x) \sin (x) - 3 - 6 \cos (x) \sin (x) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Добавим $- 3$ и $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x) + 0$

Этап 10.5.2

Добавим $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x)$ и $0$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x) \sin (x)$

Этап 10.6

Вычтем $6 \cos (x) \sin (x)$ из $- 6 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x)$