Математический анализ Примеры

$y = 1 - \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x)$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $1 - \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (2 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$0 - (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$0 - (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$0 - (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 2.7

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Этап 3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) + 2 (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Этап 3.5

Умножим $- 2$ на $2$ .

$0 + 2 \sin (2 x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $0$ и $2 \sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) - 4 \cos (x) \sin (x)$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$- 4 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (2 x)$