Математический анализ Примеры

$y = 2 \sin^{3} (x)$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin^{3} (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3

Умножим $3$ на $2$ .

$6 (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) \cos (x)$