Математический анализ Примеры

$y = 9 x^{2} \sin (x) + 18 x \cos (x) - 18 \sin (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $9 x^{2} \sin (x) + 18 x \cos (x) - 18 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [18 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [18 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2} \sin (x)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [18 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [18 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Этап 2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$9 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [18 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [18 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x \cos (x)$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$9 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 18 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Этап 3.2

$9 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 18 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Этап 3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$9 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 18 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 18 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Этап 3.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$9 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 18 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 18 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 \sin (x)$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$9 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 18 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 18 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$9 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 18 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 18 \cos (x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (x^{2} \cos (x)) + 9 (\sin (x) (2 x)) + 18 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 18 \cos (x)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 (x^{2} \cos (x)) + 9 (\sin (x) (2 x)) + 18 (x (- \sin (x))) + 18 \cos (x) - 18 \cos (x)$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $2$ на $9$ .

$9 x^{2} \cos (x) + 18 (\sin (x) (x)) + 18 (x (- \sin (x))) + 18 \cos (x) - 18 \cos (x)$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $18$ .

$9 x^{2} \cos (x) + 18 \sin (x) x - 18 (x (\sin (x))) + 18 \cos (x) - 18 \cos (x)$

Этап 5.3.3

Вычтем $18 x \sin (x)$ из $18 \sin (x) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перенесем $\sin (x)$ .

$9 x^{2} \cos (x) + 18 x \sin (x) - 18 x \sin (x) + 18 \cos (x) - 18 \cos (x)$

Этап 5.3.3.2

Вычтем $18 x \sin (x)$ из $18 x \sin (x)$ .

$9 x^{2} \cos (x) + 0 + 18 \cos (x) - 18 \cos (x)$

Этап 5.3.4

Добавим $9 x^{2} \cos (x)$ и $0$ .

$9 x^{2} \cos (x) + 18 \cos (x) - 18 \cos (x)$

Этап 5.3.5

Вычтем $18 \cos (x)$ из $18 \cos (x)$ .

$9 x^{2} \cos (x) + 0$

Этап 5.3.6

Добавим $9 x^{2} \cos (x)$ и $0$ .

$9 x^{2} \cos (x)$