Математический анализ Примеры

$y = \cos (\frac{x}{x - 1})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Этап 1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{x - 1}$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{(x - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{x - 1 - x}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.3

Вычтем $x$ из $x$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{0 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \sin (\frac{x}{x - 1}) (- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}})$

Этап 3.6.4.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.4.4

Умножим $\sin (\frac{x}{x - 1})$ на $1$ .

$\sin (\frac{x}{x - 1}) \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.5

Объединим $\sin (\frac{x}{x - 1})$ и $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{x - 1})}{{(x - 1)}^{2}}$