Математический анализ Примеры

$y = \arctan (\frac{e^{2 x}}{3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \frac{e^{2 x}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{e^{2 x}}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2}}$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{1}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 4.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Объединим $2$ и $\frac{e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})} \cdot 1$

Этап 4.5

Умножим $\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$ на $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + {(\frac{e^{2 x}}{3})}^{2})}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $\frac{e^{2 x}}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 (1 + \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}})}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{{(e^{2 x})}^{2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{2 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{2 x \cdot 2}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{3^{2}}}$

Этап 5.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + 3 \frac{e^{4 x}}{9}}$

Этап 5.3.4

Объединим $3$ и $\frac{e^{4 x}}{9}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{9}}$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $3 e^{4 x}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 (e^{4 x})}{9}}$

Этап 5.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{3 e^{4 x}}{3 \cdot 3}}$

Этап 5.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 e^{2 x}}{3 + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Этап 5.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \frac{3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Этап 5.4.2

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{e^{4 x}}{3}}$

Этап 5.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{3 \cdot 3 + e^{4 x}}{3}}$

Этап 5.4.4

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 e^{2 x}}{\frac{9 + e^{4 x}}{3}}$

Этап 5.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$

Этап 5.6

Умножим $2 e^{2 x} \frac{3}{9 + e^{4 x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим $\frac{3}{9 + e^{4 x}}$ и $2$ .

$\frac{3 \cdot 2}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Этап 5.6.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{9 + e^{4 x}} e^{2 x}$

Этап 5.6.3

Объединим $\frac{6}{9 + e^{4 x}}$ и $e^{2 x}$ .

$\frac{6 e^{2 x}}{9 + e^{4 x}}$