Математический анализ Примеры

$y = \arcsin (\sqrt{2 x})$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x}$ в виде ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({(2 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({(2 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.3

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = 2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\arcsin (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Объединим $2^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10

Умножим $\frac{2^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$ на $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2}$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Этап 11.2

Перенесем $2^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 11.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Умножим $2$ на $2^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем $2^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.2

Умножим $2^{- \frac{1}{2}}$ на $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{1} \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + 1} \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2^{\frac{- 1 + 2}{2}} \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - {(2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим правило умножения к $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Перемножим экспоненты в ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.2

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2})} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2})} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2 x^{1})} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - (2 x)} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x}}$

Этап 13.4

Умножим $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x}}$ на $\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{\sqrt{1 - 2 x}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 2 x}}{\sqrt{1 - 2 x}}$

Этап 13.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Умножим $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x}}$ на $\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{\sqrt{1 - 2 x}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 2 x} \sqrt{1 - 2 x}}$

Этап 13.5.2

Перенесем $\sqrt{1 - 2 x}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{1 - 2 x} \sqrt{1 - 2 x})}$

Этап 13.5.3

Возведем $\sqrt{1 - 2 x}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{1 - 2 x}}^{1} \sqrt{1 - 2 x})}$

Этап 13.5.4

Возведем $\sqrt{1 - 2 x}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{1 - 2 x}}^{1} {\sqrt{1 - 2 x}}^{1})}$

Этап 13.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{1 - 2 x}}^{1 + 1}}$

Этап 13.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{1 - 2 x}}^{2}}$

Этап 13.5.7

Перепишем ${\sqrt{1 - 2 x}}^{2}$ в виде $1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 2 x}$ в виде ${(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {({(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 13.5.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 13.5.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.5.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 2 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 13.5.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} {(1 - 2 x)}^{1}}$

Этап 13.5.7.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{1 - 2 x}}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} (1 - 2 x)}$