Математический анализ Примеры

$y = \cos ({(π x)}^{4})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = {(π x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(π x)}^{4}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Этап 1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(π x)}^{4}$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) \frac{d}{d x} [{(π x)}^{4}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $π x$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [π x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $π x$ .

$- \sin ({(π x)}^{4}) (4 {(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} \frac{d}{d x} [π x])$

Этап 3.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} (π \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π \cdot 1)$

Этап 3.4

Умножим ${(π x)}^{3}$ на $1$ .

$- 4 \sin ({(π x)}^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $π x$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) ({(π x)}^{3} π)$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $π x$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (π^{3} x^{3} π)$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $π$ в степень $1$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} (π^{3} π^{1}))$

Этап 4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{3 + 1})$

Этап 4.3.3

Добавим $3$ и $1$ .

$- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $- 4 \sin (π^{4} x^{4}) (x^{3} π^{4})$ .

$- 4 π^{4} x^{3} \sin (π^{4} x^{4})$