Математический анализ Примеры

$y = \arctan (x + \frac{π}{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + \frac{π}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Этап 2.3

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{π}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} (1 + 0)$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}} \cdot 1$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + \frac{π}{2})}^{2}}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{{(x + \frac{π}{2})}^{2} + 1}$