Математический анализ Примеры

$y = \arctan (\ln (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{1 + \ln^{2} (x)} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 3

Умножим $\frac{1}{1 + \ln^{2} (x)}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{(1 + \ln^{2} (x)) x}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{1 x + \ln^{2} (x) x}$

Этап 4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{x + \ln^{2} (x) x}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x \ln^{2} (x) + x}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $x$ из $x \ln^{2} (x) + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln^{2} (x)$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x)) + x}$

Этап 4.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x)) + x^{1}}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x)) + x \cdot 1}$

Этап 4.4.4

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln^{2} (x)) + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{x (\ln^{2} (x) + 1)}$