Математический анализ Примеры

$y = - 6 x {(3 x - 1)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(3 x - 1)}^{2}$ в виде $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x ((3 x - 1) (3 x - 1))]$

Этап 2

Развернем $(3 x - 1) (3 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1))]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1))]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1)]$

Этап 3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

Этап 4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x (9 x^{2} - 6 x + 1)$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x (9 x^{2} - 6 x + 1)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1$ .

$- 6 (x \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 6 x + 1] + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} - 6 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 6 (x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 (x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 6 (x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.4

Умножим $2$ на $9$ .

$- 6 (x (18 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 (x (18 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 (x (18 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.7

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 (x (18 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 6 (x (18 x - 6 + 0) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.9

Добавим $18 x - 6$ и $0$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + (9 x^{2} - 6 x + 1) \cdot 1)$

Этап 6.11

Умножим $9 x^{2} - 6 x + 1$ на $1$ .

$- 6 (x (18 x - 6) + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 (x (18 x) + x \cdot - 6 + 9 x^{2} - 6 x + 1)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 6 (x (18 x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Этап 7.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 6 (18 (x^{1} x)) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 6 (18 (x^{1} x^{1})) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 6 (18 x^{1 + 1}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- 6 (18 x^{2}) - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.5

Умножим $18$ на $- 6$ .

$- 108 x^{2} - 6 (x \cdot - 6) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.6

Перенесем $- 6$ влево от $x$ .

$- 108 x^{2} - 6 (- 6 \cdot x) - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.7

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$- 108 x^{2} + 36 x - 6 (9 x^{2}) - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.8

Умножим $9$ на $- 6$ .

$- 108 x^{2} + 36 x - 54 x^{2} - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.9

Вычтем $54 x^{2}$ из $- 108 x^{2}$ .

$- 162 x^{2} + 36 x - 6 (- 6 x) - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.10

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$- 162 x^{2} + 36 x + 36 x - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.11

Добавим $36 x$ и $36 x$ .

$- 162 x^{2} + 72 x - 6 \cdot 1$

Этап 7.3.12

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 162 x^{2} + 72 x - 6$