Математический анализ Примеры

$y = 6 x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})$

Этап 1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3} (4 x^{4} - 5 x^{3})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 4 x^{4} - 5 x^{3}$ .

$6 (x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} - 5 x^{3}] + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x^{4} - 5 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$6 (x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{4}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 (x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 (x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $4$ .

$6 (x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 (x^{3} (16 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 (x^{3} (16 x^{3} - 5 (3 x^{2})) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $- 5$ .

$6 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + (4 x^{4} - 5 x^{3}) (3 x^{2}))$

Этап 3.9

Перенесем $3$ влево от $4 x^{4} - 5 x^{3}$ .

$6 (x^{3} (16 x^{3} - 15 x^{2}) + 3 \cdot (4 x^{4} - 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + 3 (4 x^{4} - 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + (3 (4 x^{4}) + 3 (- 5 x^{3})) x^{2})$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{3} (16 x^{3}) + x^{3} (- 15 x^{2}) + 3 (4 x^{4}) x^{2} + 3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{3} (16 x^{3})) + 6 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$6 (x^{3} x^{3} \cdot 16) + 6 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (x^{3 + 3} \cdot 16) + 6 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.1.3

Добавим $3$ и $3$ .

$6 (x^{6} \cdot 16) + 6 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.2

Перенесем $16$ влево от $x^{6}$ .

$6 (16 \cdot x^{6}) + 6 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.3

Умножим $16$ на $6$ .

$96 x^{6} + 6 (x^{3} (- 15 x^{2})) + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.4

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$96 x^{6} + 6 (x^{2} x^{3} \cdot - 15) + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$96 x^{6} + 6 (x^{2 + 3} \cdot - 15) + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.4.3

Добавим $2$ и $3$ .

$96 x^{6} + 6 (x^{5} \cdot - 15) + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.5

Перенесем $- 15$ влево от $x^{5}$ .

$96 x^{6} + 6 (- 15 \cdot x^{5}) + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.6

Умножим $- 15$ на $6$ .

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 6 (3 (4 x^{4}) x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.7

Умножим $4$ на $3$ .

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 6 (12 x^{4} x^{2}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.8

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.8.1

Перенесем $x^{2}$ .

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 6 (12 (x^{2} x^{4})) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.8.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 6 (12 x^{2 + 4}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.8.3

Добавим $2$ и $4$ .

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 6 (12 x^{6}) + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.9

Умножим $12$ на $6$ .

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 72 x^{6} + 6 (3 (- 5 x^{3}) x^{2})$

Этап 4.5.10

Умножим $- 5$ на $3$ .

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 72 x^{6} + 6 (- 15 x^{3} x^{2})$

Этап 4.5.11

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.11.1

Перенесем $x^{2}$ .

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 72 x^{6} + 6 (- 15 (x^{2} x^{3}))$

Этап 4.5.11.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 72 x^{6} + 6 (- 15 x^{2 + 3})$

Этап 4.5.11.3

Добавим $2$ и $3$ .

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 72 x^{6} + 6 (- 15 x^{5})$

Этап 4.5.12

Умножим $- 15$ на $6$ .

$96 x^{6} - 90 x^{5} + 72 x^{6} - 90 x^{5}$

Этап 4.5.13

Добавим $96 x^{6}$ и $72 x^{6}$ .

$168 x^{6} - 90 x^{5} - 90 x^{5}$

Этап 4.5.14

Вычтем $90 x^{5}$ из $- 90 x^{5}$ .

$168 x^{6} - 180 x^{5}$