Математический анализ Примеры

$y = \sin (2 \sqrt{x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Этап 10

Объединим $2$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12

Сократим общий множитель.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Перепишем это выражение.

$\cos (2 x^{\frac{1}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

Объединим $\cos (2 x^{\frac{1}{2}})$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (2 x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$