Математический анализ Примеры

$y = \sec (x) (x - \tan (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = x - \tan (x)$ .

$\sec (x) \frac{d}{d x} [x - \tan (x)] + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x - \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\sec (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec (x) (1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\sec (x) (1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (1 - \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x - \tan (x)) \sec (x) \tan (x)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + (x \sec (x) - \tan (x) \sec (x)) \tan (x)$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$\sec (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 5.4.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) - {\sec (x)}^{1 + 2} + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 5.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 5.4.5

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)$

Этап 5.4.6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)$

Этап 5.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)$

Этап 5.4.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\sec (x) - \sec^{3} (x) + x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$

Этап 5.5

Изменим порядок членов.

$x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Этап 5.6

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $x \sec (x) \tan (x) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $x \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) - \sec^{3} (x)$

Этап 5.6.3

Умножим на $1$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 - \sec^{3} (x)$

Этап 5.6.4

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \sec^{3} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Этап 5.6.5

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Этап 5.6.6

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x)) + \sec (x) \cdot 1$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$

Этап 5.6.7

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) + 1 - \sec^{2} (x))$

Этап 5.7

Изменим порядок $1$ и $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1)$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1)$

Этап 5.9

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1)$

Этап 5.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1))$

Этап 5.11

Применим формулу Пифагора.

$\sec (x) (x \tan (x) - \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Этап 5.12

Вычтем $\tan^{2} (x)$ из $- \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) (x \tan (x) - 2 \tan^{2} (x))$

Этап 5.13

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) (x \tan (x)) + \sec (x) (- 2 \tan^{2} (x))$

Этап 5.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Этап 5.15

Изменим порядок множителей в $\sec (x) x \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$x \sec (x) \tan (x) - 2 \sec (x) \tan^{2} (x)$