Математический анализ Примеры

$y = \sec (\sin (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sec (u)$ по $u$ равна $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $\sec (\sin (x)) \tan (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \sec (\sin (x)) \tan (\sin (x))$

Этап 3.2

Выразим $\sec (\sin (x))$ через синусы и косинусы.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Этап 3.3

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \tan (\sin (x))$

Этап 3.4

Выразим $\tan (\sin (x))$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$

Этап 3.5

Умножим $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ на $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Этап 3.5.2

Возведем $\cos (\sin (x))$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Этап 3.5.3

Возведем $\cos (\sin (x))$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{1} (\sin (x)) \cos^{1} (\sin (x))}$

Этап 3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{{\cos (\sin (x))}^{1 + 1}}$

Этап 3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos^{2} (\sin (x))}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $\cos (\sin (x))$ из $\cos^{2} (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) \sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x)) \cos (\sin (x))}$

Этап 3.7

Разделим дроби.

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$

Этап 3.8

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\cos (\sin (x))}$ в виде произведения.

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Этап 3.9

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \frac{1}{\cos (\sin (x))})$

Этап 3.10.2

Переведем $\frac{1}{\cos (\sin (x))}$ в $\sec (\sin (x))$ .

$\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))} (\cos (x) \sec (\sin (x)))$

Этап 3.11

Переведем $\frac{\sin (\sin (x))}{\cos (\sin (x))}$ в $\tan (\sin (x))$ .

$\tan (\sin (x)) \cos (x) \sec (\sin (x))$