Математический анализ Примеры

$y = \ln (x + 3) + \ln (5)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\ln (x + 3) + \ln (5)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (x + 3)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Этап 2.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 3$ .

$\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Этап 2.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x + 3} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{x + 3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Этап 2.6

Умножим $\frac{1}{x + 3}$ на $1$ .

$\frac{1}{x + 3} + \frac{d}{d x} [\ln (5)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\ln (5)$ является константой относительно $x$ , производная $\ln (5)$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x + 3} + 0$

Этап 3.2

Добавим $\frac{1}{x + 3}$ и $0$ .

$\frac{1}{x + 3}$