Математический анализ Примеры

$y = \ln (\csc (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\csc (x)} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 5

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $\sin (x) (- \csc (x) \cot (x))$ .

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x)$

Этап 6.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x)$

Этап 6.3

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x)$

Этап 6.4

Умножим $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Этап 6.4.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x)$

Этап 6.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x)$

Этап 6.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x)$

Этап 6.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Этап 6.5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ в числитель.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x)$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Этап 6.5.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x)$

Этап 6.5.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.7

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$- \cot (x)$