Математический анализ Примеры

$y = \ln (\cos (e^{x}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos (e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (e^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (e^{x})$ .

$\frac{1}{\cos (e^{x})} \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ в $\sec (e^{x})$ .

$\sec (e^{x}) \frac{d}{d x} [\cos (e^{x})]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $e^{x}$ .

$\sec (e^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 3.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x}$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $\sec (e^{x}) (- \sin (e^{x}) e^{x})$ .

$- e^{x} \sec (e^{x}) \sin (e^{x})$

Этап 5.2

Выразим $\sec (e^{x})$ через синусы и косинусы.

$- e^{x} \frac{1}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

Этап 5.3

Объединим $\frac{1}{\cos (e^{x})}$ и $e^{x}$ .

$- \frac{e^{x}}{\cos (e^{x})} \sin (e^{x})$

Этап 5.4

Объединим $\sin (e^{x})$ и $\frac{e^{x}}{\cos (e^{x})}$ .

$- \frac{\sin (e^{x}) e^{x}}{\cos (e^{x})}$

Этап 5.5

Разделим дроби.

$- (\frac{e^{x}}{1} \cdot \frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})})$

Этап 5.6

Переведем $\frac{\sin (e^{x})}{\cos (e^{x})}$ в $\tan (e^{x})$ .

$- (\frac{e^{x}}{1} \tan (e^{x}))$

Этап 5.7

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$- e^{x} \tan (e^{x})$