Математический анализ Примеры

$y = \ln (\arctan (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \arctan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\arctan (x)$ .

$\frac{1}{\arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Этап 2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}$

Этап 3

Умножим $\frac{1}{\arctan (x)}$ на $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (x) (1 + x^{2})}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}$

Этап 4.2

Умножим $\arctan (x)$ на $1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)}$

Этап 4.4

Вынесем множитель $\arctan (x)$ из $x^{2} \arctan (x) + \arctan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $\arctan (x)$ из $x^{2} \arctan (x)$ .

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x)}$

Этап 4.4.2

Умножим на $1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1}$

Этап 4.4.3

Вынесем множитель $\arctan (x)$ из $\arctan (x) x^{2} + \arctan (x) \cdot 1$ .

$\frac{1}{\arctan (x) (x^{2} + 1)}$