Математический анализ Примеры

$y = \ln (\arctan (6 x + 3))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \arctan (6 x + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\arctan (6 x + 3)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\arctan (6 x + 3)$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [\arctan (6 x + 3)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x + 3$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x + 3$ .

$\frac{1}{\arctan (6 x + 3)} (\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [6 x + 3])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{1 + {(6 x + 3)}^{2}}$ на $\frac{1}{\arctan (6 x + 3)}$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $6 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3.5

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} (6 + 0)$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)} \cdot 6$

Этап 3.7.2

Объединим $\frac{1}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$ и $6$ .

$\frac{6}{(1 + {(6 x + 3)}^{2}) \arctan (6 x + 3)}$

Этап 3.7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{6}{\arctan (6 x + 3) (1 + {(6 x + 3)}^{2})}$