Математический анализ Примеры

$y = \ln (\ln (7 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (7 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (7 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (7 x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (7 x)$ .

$\frac{1}{\ln (7 x)} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $7 x$ .

$\frac{1}{\ln (7 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (7 x)} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7 x$ .

$\frac{1}{\ln (7 x)} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{7 x}$ на $\frac{1}{\ln (7 x)}$ .

$\frac{1}{7 x \ln (7 x)} \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 3.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{7 x \ln (7 x)} (7 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $7$ и $\frac{1}{7 x \ln (7 x)}$ .

$\frac{7}{7 x \ln (7 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{7 x \ln (7 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x \ln (7 x)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x \ln (7 x)} \cdot 1$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1}{x \ln (7 x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{x \ln (7 x)}$