Математический анализ Примеры

$y = \ln (\sin (2 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (2 x)$ .

$\frac{1}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\sin (2 x)}$ в $\csc (2 x)$ .

$\csc (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\csc (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\csc (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc (2 x) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\csc (2 x) \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\csc (2 x) \cos (2 x) \cdot 2$

Этап 4.3.2

Перенесем $2$ влево от $\csc (2 x) \cos (2 x)$ .

$2 \cdot (\csc (2 x) \cos (2 x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $2 \csc (2 x) \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) \csc (2 x)$

Этап 5.2

Выразим $\csc (2 x)$ через синусы и косинусы.

$2 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$

Этап 5.3

Умножим $2 \cos (2 x) \frac{1}{\sin (2 x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $\frac{1}{\sin (2 x)}$ и $2$ .

$\frac{2}{\sin (2 x)} \cos (2 x)$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{2}{\sin (2 x)}$ и $\cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 5.4

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$

Этап 5.5

Переведем $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ в $\cot (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (2 x)$

Этап 5.6

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \cot (2 x)$