Математический анализ Примеры

$y = \ln (- 42 x^{2} + 11 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = - 42 x^{2} + 11 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 42 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 42 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} \frac{d}{d x} [- 42 x^{2} + 11 x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 42 x^{2} + 11 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (\frac{d}{d x} [- 42 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Этап 2.2

Поскольку $- 42$ является константой относительно $x$ , производная $- 42 x^{2}$ по $x$ равна $- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 42 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $- 42$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + \frac{d}{d x} [11 x])$

Этап 2.5

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11 x$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11 \cdot 1)$

Этап 2.7

Умножим $11$ на $1$ .

$\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x} (- 84 x + 11)$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{- 42 x^{2} + 11 x}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 42 x^{2} + 11 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 42 x^{2}$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + 11 x}$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $11 x$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x) + x \cdot 11}$

Этап 3.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 42 x) + x \cdot 11$ .

$(- 84 x + 11) \frac{1}{x (- 42 x + 11)}$

Этап 3.3

Умножим $- 84 x + 11$ на $\frac{1}{x (- 42 x + 11)}$ .

$\frac{- 84 x + 11}{x (- 42 x + 11)}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 84 x$ .

$\frac{- (84 x) + 11}{x (- 42 x + 11)}$

Этап 3.5

Перепишем $11$ в виде $- 1 (- 11)$ .

$\frac{- (84 x) - 1 (- 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (84 x) - 1 (- 11)$ .

$\frac{- (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Этап 3.7

Перепишем $- (84 x - 11)$ в виде $- 1 (84 x - 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 42 x + 11)}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 42 x$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) + 11)}$

Этап 3.9

Перепишем $11$ в виде $- 1 (- 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x) - 1 (- 11))}$

Этап 3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (42 x) - 1 (- 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- (42 x - 11))}$

Этап 3.11

Перепишем $- (42 x - 11)$ в виде $- 1 (42 x - 11)$ .

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

Этап 3.12

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (84 x - 11)}{x (- 1 (42 x - 11))}$

Этап 3.13

Перепишем это выражение.

$\frac{84 x - 11}{x (42 x - 11)}$