Математический анализ Примеры

$y = \ln (x^{4} - 4 x + 10)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{4} - 4 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} - 4 x + 10$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x + 10]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x + 10]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} - 4 x + 10$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} \frac{d}{d x} [x^{4} - 4 x + 10]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [10])$

Этап 2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10])$

Этап 2.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4 + \frac{d}{d x} [10])$

Этап 2.6

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4 + 0)$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Добавим $4 x^{3} - 4$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4)$

Этап 2.7.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{4} - 4 x + 10} (4 x^{3} - 4)$ .

$(4 x^{3} - 4) \frac{1}{x^{4} - 4 x + 10}$