Математический анализ Примеры

$y = \ln (x^{4} + e)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{4} + e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + e$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + e]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + e]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + e$ .

$\frac{1}{x^{4} + e} \frac{d}{d x} [x^{4} + e]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{4} + e$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [e]$ .

$\frac{1}{x^{4} + e} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [e])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + e} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [e])$

Этап 2.3

Поскольку $e$ является константой относительно $x$ , производная $e$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + e} (4 x^{3} + 0)$

Этап 2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + e} (4 x^{3})$

Этап 2.4.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{4} + e}$ .

$\frac{4}{x^{4} + e} x^{3}$

Этап 2.4.3

Объединим $\frac{4}{x^{4} + e}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + e}$