Математический анализ Примеры

$y = \ln (10 x^{2 - 5 x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 10 x^{2 - 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $10 x^{2 - 5 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $10 x^{2 - 5 x}$ .

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [10 x^{2 - 5 x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{2 - 5 x}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$ .

$\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}} (10 \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}])$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $10$ и $\frac{1}{10 x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{10 x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [x^{2 - 5 x}]$

Этап 3

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $x^{2 - 5 x}$ в виде $e^{\ln (x^{2 - 5 x})}$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2 - 5 x})}]$

Этап 3.2

Развернем $\ln (x^{2 - 5 x})$ , вынося $2 - 5 x$ из логарифма.

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [e^{(2 - 5 x) \ln (x)}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $(2 - 5 x) \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $(2 - 5 x) \ln (x)$ .

$\frac{1}{x^{2 - 5 x}} (e^{(2 - 5 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)])$

Этап 5

Объединим $e^{(2 - 5 x) \ln (x)}$ и $\frac{1}{x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} \frac{d}{d x} [(2 - 5 x) \ln (x)]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 - 5 x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

Этап 7

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2 - 5 x])$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

По правилу суммы производная $2 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

Этап 8.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))$

Этап 8.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 8.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) (- 5 \cdot 1))$

Этап 8.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot - 5)$

Этап 8.6.2

Перенесем $- 5$ влево от $\ln (x)$ .

$\frac{e^{(2 - 5 x) \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \cdot \ln (x))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} ((2 - 5 x) \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (2 \frac{1}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

Этап 9.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 x \frac{1}{x} - 5 \ln (x))$

Этап 9.3.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + x \frac{- 5}{x} - 5 \ln (x))$

Этап 9.3.3

Объединим $x$ и $\frac{- 5}{x}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{x \cdot - 5}{x} - 5 \ln (x))$

Этап 9.3.4

Перенесем $- 5$ влево от $x$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 \cdot x}{x} - 5 \ln (x))$

Этап 9.3.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x))$

Этап 9.3.5.2

Разделим $- 5$ на $1$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$

Этап 9.4

Изменим порядок множителей в $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}} (\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x))$ .

$(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) \frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.5

Умножим $\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)$ на $\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} - 5 \cdot \frac{x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.6.2

Объединим $- 5$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2}{x} + \frac{- 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.6.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x)) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.6.4

Чтобы записать $- 5 \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} - 5 \ln (x) \cdot \frac{x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.6.5

Объединим $- 5 \ln (x)$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{2 - 5 x}{x} + \frac{- 5 \ln (x) x}{x}) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.6.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x} e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.7

Объединим $\frac{2 - 5 x - 5 \ln (x) x}{x}$ и $e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ .

$\frac{\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x}}{x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.8

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.9

Объединим.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x \cdot x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.10

Умножим $x$ на $x^{2 - 5 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Умножим $x$ на $x^{2 - 5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1} x^{2 - 5 x}}$

Этап 9.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{1 + 2 - 5 x}}$

Этап 9.10.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} \cdot 1}{x^{3 - 5 x}}$

Этап 9.11

Умножим $(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}$ на $1$ .

$\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$

Этап 9.12

Изменим порядок множителей в $\frac{(2 - 5 x - 5 \ln (x) x) e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)}}{x^{3 - 5 x}}$ .

$\frac{e^{2 \ln (x) - 5 x \ln (x)} (2 - 5 x - 5 x \ln (x))}{x^{3 - 5 x}}$