Математический анализ Примеры

$y = \ln (e^{5 x} + 6)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = e^{5 x} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{5 x} + 6$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{5 x} + 6$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} \frac{d}{d x} [e^{5 x} + 6]$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{5 x} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 4.3.2

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 \cdot e^{5 x} + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 4.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 e^{5 x} + 0)$

Этап 4.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Добавим $5 e^{5 x}$ и $0$ .

$\frac{1}{e^{5 x} + 6} (5 e^{5 x})$

Этап 4.5.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{e^{5 x} + 6}$ .

$\frac{5}{e^{5 x} + 6} e^{5 x}$

Этап 4.5.3

Объединим $\frac{5}{e^{5 x} + 6}$ и $e^{5 x}$ .

$\frac{5 e^{5 x}}{e^{5 x} + 6}$