Математический анализ Примеры

$y = \ln (\cos^{2} (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\sec^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$\sec^{2} (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \sec^{2} (x) \cos (x) (- \sin (x))$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sec^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) \sin (x)$

Этап 7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Этап 7.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Этап 7.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \cos (x) \sin (x)$

Этап 7.5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

Этап 7.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) \sin (x)$

Этап 7.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 7.7

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{2}{\cos (x)}$ .

$- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x)}$

Этап 7.8

Перенесем $2$ влево от $\sin (x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.9

Разделим дроби.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

Этап 7.10

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- (\frac{2}{1} \tan (x))$

Этап 7.11

Разделим $2$ на $1$ .

$- (2 \tan (x))$

Этап 7.12

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \tan (x)$