Математический анализ Примеры

$y = 7^{4 x - x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 7^{x}$ и $g (x) = 4 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - x^{2}$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $1$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - (2 x))$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - 2 x)$

Этап 2.7.2

Изменим порядок множителей в $7^{4 x - x^{2}} \ln (7) (4 - 2 x)$ .

$7^{4 x - x^{2}} (4 - 2 x) \ln (7)$