Математический анализ Примеры

$y = \frac{9 x^{2} - 1}{3 x - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 9 x^{2} - 1$ и $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 1] - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{(3 x - 1) (18 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(3 x - 1) (18 x + 0) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $18 x$ и $0$ .

$\frac{(3 x - 1) (18 x) - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $18$ влево от $3 x - 1$ .

$\frac{18 \cdot (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.10

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - (9 x^{2} - 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.12.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{18 (3 x - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(18 (3 x) + 18 \cdot - 1) x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2} - 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 (3 x) x + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{18 (3 (x \cdot x)) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{18 (3 x^{2}) + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $3$ на $18$ .

$\frac{54 x^{2} + 18 \cdot - 1 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $18$ на $- 1$ .

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 3 (9 x^{2}) - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $9$ на $- 3$ .

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} - 3 \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.1.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{54 x^{2} - 18 x - 27 x^{2} + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вычтем $27 x^{2}$ из $54 x^{2}$ .

$\frac{27 x^{2} - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $3$ из $27 x^{2} - 18 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $3$ из $27 x^{2}$ .

$\frac{3 (9 x^{2}) - 18 x + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 18 x$ .

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (9 x^{2}) + 3 (- 6 x)$ .

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (9 x^{2} - 6 x) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (9 x^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Перепишем $9 x^{2}$ в виде ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 6 x + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.2.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 1$

Этап 3.5.2.4

Перепишем многочлен.

$\frac{3 ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 1 + 1^{2})}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.5.2.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 3 x$ и $b = 1$ .

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель ${(3 x - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(3 x - 1)}^{2}}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Разделим $3$ на $1$ .

$3$