Математический анализ Примеры

$y = \frac{- 9 e^{5 x}}{4 x + 3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{9 e^{5 x}}{4 x + 3}]$

Этап 1.2

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{9 e^{5 x}}{4 x + 3}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{4 x + 3}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{e^{5 x}}{4 x + 3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{5 x}$ и $g (x) = 4 x + 3$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} (5 \cdot 1) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $5$ на $1$ .

$- 9 \frac{(4 x + 3) e^{5 x} \cdot 5 - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перенесем $5$ влево от $(4 x + 3) e^{5 x}$ .

$- 9 \frac{5 \cdot ((4 x + 3) e^{5 x}) - e^{5 x} \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.4

По правилу суммы производная $4 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.7

Умножим $4$ на $1$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Добавим $4$ и $0$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - e^{5 x} \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.9.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 9 \frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.9.3

Объединим $- 9$ и $\frac{5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 9 (5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 4.9.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9 (5 (4 x + 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{9 ((5 (4 x) + 5 \cdot 3) e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{9 (5 (4 x) e^{5 x} + 5 \cdot 3 e^{5 x} - 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{9 (5 (4 x) e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $4$ на $5$ .

$- \frac{9 (20 x e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $20$ на $9$ .

$- \frac{180 (x e^{5 x}) + 9 (5 \cdot 3 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.4.1.3

Умножим $5$ на $3$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 9 (15 e^{5 x}) + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.4.1.4

Умножим $15$ на $9$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 135 e^{5 x} + 9 (- 4 e^{5 x})}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.4.1.5

Умножим $- 4$ на $9$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 135 e^{5 x} - 36 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.4.2

Вычтем $36 e^{5 x}$ из $135 e^{5 x}$ .

$- \frac{180 x e^{5 x} + 99 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $9 e^{5 x}$ из $180 x e^{5 x} + 99 e^{5 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $9 e^{5 x}$ из $180 x e^{5 x}$ .

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x) + 99 e^{5 x}}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $9 e^{5 x}$ из $99 e^{5 x}$ .

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x) + 9 e^{5 x} (11)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $9 e^{5 x}$ из $9 e^{5 x} (20 x) + 9 e^{5 x} (11)$ .

$- \frac{9 e^{5 x} (20 x + 11)}{{(4 x + 3)}^{2}}$