Математический анализ Примеры

$y = - 9 {(6 x^{2} + 4)}^{- 6}$

Этап 1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 {(6 x^{2} + 4)}^{- 6}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 4)}^{- 6}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 4)}^{- 6}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 6}$ и $g (x) = 6 x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x^{2} + 4$ .

$- 9 (\frac{d}{d u} [u^{- 6}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 4])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 6$ .

$- 9 (- 6 u^{- 7} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 4])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x^{2} + 4$ .

$- 9 (- 6 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 4])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 6$ на $- 9$ .

$54 ({(6 x^{2} + 4)}^{- 7} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 4])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $6 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $6$ .

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (12 x + \frac{d}{d x} [4])$

Этап 3.6

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (12 x + 0)$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $12 x$ и $0$ .

$54 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} (12 x)$

Этап 3.7.2

Умножим $12$ на $54$ .

$648 {(6 x^{2} + 4)}^{- 7} x$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$648 \frac{1}{{(6 x^{2} + 4)}^{7}} x$

Этап 5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $648$ и $\frac{1}{{(6 x^{2} + 4)}^{7}}$ .

$\frac{648}{{(6 x^{2} + 4)}^{7}} x$

Этап 5.2

Объединим $\frac{648}{{(6 x^{2} + 4)}^{7}}$ и $x$ .

$\frac{648 x}{{(6 x^{2} + 4)}^{7}}$