Математический анализ Примеры

$y = \frac{- 8 e^{6 x}}{7 x - 2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{8 e^{6 x}}{7 x - 2}]$

Этап 1.2

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{8 e^{6 x}}{7 x - 2}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{7 x - 2}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{7 x - 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{6 x}$ и $g (x) = 7 x - 2$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} (6 \cdot 1) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $6$ на $1$ .

$- 8 \frac{(7 x - 2) e^{6 x} \cdot 6 - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перенесем $6$ влево от $(7 x - 2) e^{6 x}$ .

$- 8 \frac{6 \cdot ((7 x - 2) e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.4

По правилу суммы производная $7 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.7

Умножим $7$ на $1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Добавим $7$ и $0$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - e^{6 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.9.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- 8 \frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.9.3

Объединим $- 8$ и $\frac{6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 8 (6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.9.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 (6 (7 x - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 ((6 (7 x) + 6 \cdot - 2) e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (6 (7 x) e^{6 x} + 6 \cdot - 2 e^{6 x} - 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{8 (6 (7 x) e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $7$ на $6$ .

$- \frac{8 (42 x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $42$ на $8$ .

$- \frac{336 (x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot - 2 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4.1.3

Умножим $6$ на $- 2$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} + 8 (- 12 e^{6 x}) + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4.1.4

Умножим $- 12$ на $8$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 96 e^{6 x} + 8 (- 7 e^{6 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4.1.5

Умножим $- 7$ на $8$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 96 e^{6 x} - 56 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4.2

Вычтем $56 e^{6 x}$ из $- 96 e^{6 x}$ .

$- \frac{336 x e^{6 x} - 152 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $8 e^{6 x}$ из $336 x e^{6 x} - 152 e^{6 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $8 e^{6 x}$ из $336 x e^{6 x}$ .

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x) - 152 e^{6 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $8 e^{6 x}$ из $- 152 e^{6 x}$ .

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x) + 8 e^{6 x} (- 19)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $8 e^{6 x}$ из $8 e^{6 x} (42 x) + 8 e^{6 x} (- 19)$ .

$- \frac{8 e^{6 x} (42 x - 19)}{{(7 x - 2)}^{2}}$