Математический анализ Примеры

$y = e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Этап 2.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{x + 1}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

$2 e^{2 x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} (1 + 0))$

Этап 3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$2 e^{2 x} - 2 (e^{x + 1} \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $e^{x + 1}$ на $1$ .

$2 e^{2 x} - 2 e^{x + 1}$