Математический анализ Примеры

$y = e^{2 x \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x \cos (x)$ .

$e^{2 x \cos (x)} \frac{d}{d x} [2 x \cos (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$e^{2 x \cos (x)} (2 \frac{d}{d x} [x \cos (x)])$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x \cos (x)}$ .

$2 \cdot e^{2 x \cos (x)} \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$2 e^{2 x \cos (x)} (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 e^{2 x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 e^{2 x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Этап 5.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$2 e^{2 x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{2 x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + 2 e^{2 x \cos (x)} \cos (x)$

Этап 6.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 e^{2 x \cos (x)} x \sin (x) + 2 e^{2 x \cos (x)} \cos (x)$