Математический анализ Примеры

$y = e^{x^{2}} + x^{3}$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{x^{2}} + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$e^{x^{2}} (2 x) + 3 x^{2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 2 e^{x^{2}} x$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $3 x^{2} + 2 e^{x^{2}} x$ .

$3 x^{2} + 2 x e^{x^{2}}$