Математический анализ Примеры

$y = arccsc (x^{4} + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arccsc (x)$ и $g (x) = x^{4} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Этап 1.2

Производная $arccsc (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 1$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3} + 0)$

Этап 2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$- \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} (4 x^{3})$

Этап 2.4.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

Этап 2.4.3

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}} x^{3}$

Этап 2.4.4

Объединим $\frac{- 4}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$ и $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

Этап 2.4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{4} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

Этап 3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{4} + 1$ и $b = 1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 1 + 1) (x^{4} + 1 - 1)}}$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 1 - 1)}}$

Этап 3.1.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) (x^{4} + 0)}}$

Этап 3.1.3.3

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) x^{4}}}$

Этап 3.1.4

Перепишем $(x^{4} + 2) x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{(x^{4} + 2) {(x^{2})}^{2}}}$

Этап 3.1.4.2

Изменим порядок $x^{4} + 2$ и ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} (x^{4} + 2)}}$

Этап 3.1.4.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) \sqrt{{(x^{2})}^{2} ({(x^{2})}^{2} + 2)}}$

Этап 3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{{(x^{2})}^{2} + 2})}$

Этап 3.1.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{2 \cdot 2} + 2})}$

Этап 3.1.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) (x^{2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

$- \frac{4 x^{3}}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $4 x^{3}$ .

$- \frac{x^{2} (4 x)}{(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Этап 3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $(x^{4} + 1) x^{2} \sqrt{x^{4} + 2}$ .

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{x^{2} (4 x)}{x^{2} ((x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2})}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$

Этап 3.3

Умножим $\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ на $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ .

$- (\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}})$

Этап 3.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $\frac{4 x}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2}}$ на $\frac{\sqrt{x^{4} + 2}}{\sqrt{x^{4} + 2}}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) \sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2}}$

Этап 3.4.2

Перенесем $\sqrt{x^{4} + 2}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (\sqrt{x^{4} + 2} \sqrt{x^{4} + 2})}$

Этап 3.4.3

Возведем $\sqrt{x^{4} + 2}$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} \sqrt{x^{4} + 2})}$

Этап 3.4.4

Возведем $\sqrt{x^{4} + 2}$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) ({\sqrt{x^{4} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1})}$

Этап 3.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}}$

Этап 3.4.7

Перепишем ${\sqrt{x^{4} + 2}}^{2}$ в виде $x^{4} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{4} + 2}$ в виде ${(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {({(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.4.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.7.4.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 2)}^{1}}$

Этап 3.4.7.5

Упростим.

$- \frac{4 x \sqrt{x^{4} + 2}}{(x^{4} + 1) (x^{4} + 2)}$