Математический анализ Примеры

$y = \csc^{3} (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \csc (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 2

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Этап 3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x))$

Этап 4

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$- 3 (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) \cot (x)$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x)$

Этап 6

Добавим $1$ и $2$ .

$- 3 \csc^{3} (x) \cot (x)$