Математический анализ Примеры

$y = \frac{9 x^{2} + 1}{x^{2} + 9}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 9 x^{2} + 1$ и $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x + 0) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $18 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + 9) (18 x) - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $18$ влево от $x^{2} + 9$ .

$\frac{18 \cdot (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - (9 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 2.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{18 (x^{2} + 9) x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(18 x^{2} + 18 \cdot 9) x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x + (- 2 (9 x^{2}) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{18 x^{2} x + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{18 (x \cdot x^{2}) + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{2}) + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{18 x^{1 + 2} + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 18 \cdot 9 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $18$ на $9$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{2}) x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{1 + 2}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 2 (9 x^{3}) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $9$ на $- 2$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Объединим противоположные члены в $18 x^{3} + 162 x - 18 x^{3} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вычтем $18 x^{3}$ из $18 x^{3}$ .

$\frac{162 x + 0 - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.2.2

Добавим $162 x$ и $0$ .

$\frac{162 x - 2 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Вычтем $2 x$ из $162 x$ .

$\frac{160 x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$