Математический анализ Примеры

$y = \cos^{5} (2 x^{2} - 9)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = \cos (2 x^{2} - 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (2 x^{2} - 9)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (2 x^{2} - 9)$ .

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 9)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x^{2} - 9$ .

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x^{2} - 9$ .

$5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (- \sin (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) (\sin (2 x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $2$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Этап 3.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x + 0)$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$- 5 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) (4 x)$

Этап 3.7.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$- 20 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) x$

Этап 3.7.3

Изменим порядок множителей в $- 20 \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9) x$ .

$- 20 x \cos^{4} (2 x^{2} - 9) \sin (2 x^{2} - 9)$