Математический анализ Примеры

$y = \cos^{2} (\ln (2 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (\ln (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (\ln (2 x))$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\cos (\ln (2 x))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (2 x)$ .

$2 \cos (\ln (2 x)) (- \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Этап 3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) (\sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x)])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.2

Производная $\ln (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\frac{1}{u_{3}}$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2 x}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{2 x} \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $\frac{- 2}{2 x}$ и $\cos (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x} \sin (\ln (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{- 2 \cos (\ln (2 x))}{2 x}$ и $\sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 (x)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$ .

$\frac{- 2 (\cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x)))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x} \cdot 1$

Этап 5.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2 \cos (\ln (2 x)) \sin (\ln (2 x))}{x}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок $2 \cos (\ln (2 x))$ и $\sin (\ln (2 x))$ .

$- \frac{\sin (\ln (2 x)) (2 \cos (\ln (2 x)))}{x}$

Этап 6.2

Изменим порядок $\sin (\ln (2 x))$ и $2$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (\ln (2 x)) \cos (\ln (2 x))}{x}$

Этап 6.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$- \frac{\sin (2 \ln (2 x))}{x}$

Этап 6.4

Упростим $2 \ln (2 x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \frac{\sin (\ln ({(2 x)}^{2}))}{x}$

Этап 6.5

Применим правило умножения к $2 x$ .

$- \frac{\sin (\ln (2^{2} x^{2}))}{x}$

Этап 6.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- \frac{\sin (\ln (4 x^{2}))}{x}$