Математический анализ Примеры

$y = \frac{\ln (x)}{x + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + 1 \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Объединим.

$\frac{x (1 + \frac{1}{x} - \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 1 + x \frac{1}{x} + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cdot 1 + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x + 1 + x (- \ln (x))}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x \ln (x)$ .

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.8

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.10

Перепишем $- (x \ln (x) - x - 1)$ в виде $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(x + 1)}^{2}}$

Этап 4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(x + 1)}^{2}}$