Математический анализ Примеры

$y = \frac{\ln (15 x)}{15 x}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{15}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\ln (15 x)}{15 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (15 x)}{x}]$ .

$\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (15 x)}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (15 x)$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (15 x)] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 15 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $15 x$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [15 x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [15 x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $15 x$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{x (\frac{1}{15 x} \frac{d}{d x} [15 x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{15 x}$ и $x$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{x}{15 x} \frac{d}{d x} [15 x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{x}{15 x} \frac{d}{d x} [15 x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [15 x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.3

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{1}{15} (15 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $15$ и $\frac{1}{15}$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{15}{15} \frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{15}{15} \frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.4.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.4.3

Умножим $\frac{d}{d x} [x]$ на $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 - \ln (15 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 - \ln (15 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 4.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{15} \cdot \frac{1 - \ln (15 x)}{x^{2}}$

Этап 4.7.2

Умножим $\frac{1}{15}$ на $\frac{1 - \ln (15 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (15 x)}{15 x^{2}}$