Математический анализ Примеры

$y = \ln ({(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} \frac{d}{d x} [{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x^{7} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{7}{5}}] \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{5}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {u_{2}}^{\frac{7}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x^{7} + 5 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Этап 6.2

Вычтем $5$ из $7$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7}{5} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Этап 7

Объединим $\frac{7}{5}$ и ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} (\frac{7 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x])$

Этап 8

Умножим $\frac{7 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}}{5}$ на $\frac{1}{{(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}}$ .

$\frac{7 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Этап 9

Перенесем ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}} {(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Этап 10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим ${(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}}$ на ${(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перенесем ${(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}}$ .

$\frac{7}{5 ({(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5}} {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{7}{5}})} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Этап 10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{- \frac{2}{5} + \frac{7}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Этап 10.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{- 2 + 7}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Этап 10.1.4

Добавим $- 2$ и $7$ .

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{\frac{5}{5}}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Этап 10.1.5

Разделим $5$ на $5$ .

$\frac{7}{5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Этап 10.2

Упростим $5 {(2 x^{7} + 5 x)}^{1}$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} \frac{d}{d x} [2 x^{7} + 5 x]$

Этап 11

По правилу суммы производная $2 x^{7} + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 12

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{7}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 14

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 15

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + 5 \cdot 1)$

Этап 17

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{7}{5 (2 x^{7} + 5 x)} (14 x^{6} + 5)$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7}{5 (2 x^{7}) + 5 (5 x)} (14 x^{6} + 5)$

Этап 18.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{7}{10 x^{7} + 5 (5 x)} (14 x^{6} + 5)$

Этап 18.2.2

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{7}{10 x^{7} + 25 x} (14 x^{6} + 5)$

Этап 18.3

Изменим порядок множителей в $\frac{7}{10 x^{7} + 25 x} (14 x^{6} + 5)$ .

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{10 x^{7} + 25 x}$

Этап 18.4

Вынесем множитель $5 x$ из $10 x^{7} + 25 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.4.1

Вынесем множитель $5 x$ из $10 x^{7}$ .

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{5 x (2 x^{6}) + 25 x}$

Этап 18.4.2

Вынесем множитель $5 x$ из $25 x$ .

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{5 x (2 x^{6}) + 5 x (5)}$

Этап 18.4.3

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (2 x^{6}) + 5 x (5)$ .

$(14 x^{6} + 5) \frac{7}{5 x (2 x^{6} + 5)}$

Этап 18.5

Умножим $14 x^{6} + 5$ на $\frac{7}{5 x (2 x^{6} + 5)}$ .

$\frac{(14 x^{6} + 5) \cdot 7}{5 x (2 x^{6} + 5)}$

Этап 18.6

Перенесем $7$ влево от $14 x^{6} + 5$ .

$\frac{7 (14 x^{6} + 5)}{5 x (2 x^{6} + 5)}$