Математический анализ Примеры

$y = \frac{\log (x)}{1 + \log (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \log (x)$ и $g (x) = 1 + \log (x)$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{d}{d x} [\log (x)] - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 2

Производная $\log (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [1 + \log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + \log (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) (0 + \frac{d}{d x} [\log (x)])}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\log (x)]$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{d}{d x} [\log (x)]}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 4

Производная $\log (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \log (x) \frac{1}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{x \ln (10)}$ и $\log (x)$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 6

Чтобы записать $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} \cdot \frac{x \ln (10)}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 7

Объединим $(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)}$ и $\frac{x \ln (10)}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10))}{x \ln (10)} - \frac{\log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{1}{x \ln (10)} (x \ln (10)) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 9

Объединим $x$ и $\frac{1}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x \ln (10)} \ln (10) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 10

Объединим $\ln (10)$ и $\frac{x}{x \ln (10)}$ .

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 11

Сократим общий множитель $\ln (10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{\ln (10) x}{x \ln (10)} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 11.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 12

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \frac{x}{x} - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 12.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(1 + \log (x)) \cdot 1 - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 13

Умножим $1 + \log (x)$ на $1$ .

$\frac{\frac{1 + \log (x) - \log (x)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 14

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 15

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{1 + \log (\frac{x}{x})}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 15.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 16

Перепишем $\frac{\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ в виде произведения.

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)} \cdot \frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 17

Умножим $\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10)}$ на $\frac{1}{{(1 + \log (x))}^{2}}$ .

$\frac{1 + \log (1)}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Логарифм $1$ по основанию $10$ равен $0$ .

$\frac{1 + 0}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 18.1.2

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$

Этап 18.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$

Этап 18.3

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x {(1 + \log (x))}^{2} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{x \ln (10) {(1 + \log (x))}^{2}}$