Математический анализ Примеры

$y = \log_{3} (\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{2 x^{4} - 6 x}$ в виде ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{3} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{3} (x)$ и $g (x) = {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{3} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Этап 2.2

Производная $\log_{3} (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (3)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x^{4} - 6 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x^{4} - 6 x$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 7.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4} {(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{4}$ и ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{{(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 10

Перенесем ${(2 x^{4} - 6 x)}^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)} (\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x])$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}}}$ на $\frac{1}{{(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3)}$ .

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{3}{4}} ({(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4}} \ln (3))} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Этап 12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Этап 13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{1 + 3}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Этап 13.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Этап 14

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{\frac{4}{4}} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Этап 14.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 {(2 x^{4} - 6 x)}^{1} \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Этап 15

Упростим.

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} \frac{d}{d x} [2 x^{4} - 6 x]$

Этап 16

По правилу суммы производная $2 x^{4} - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Этап 17

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Этап 18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Этап 19

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Этап 20

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 21

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6 \cdot 1)$

Этап 22

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{1}{4 (2 x^{4} - 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Этап 23

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{(4 (2 x^{4}) + 4 (- 6 x)) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Этап 23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4 (2 x^{4}) \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Этап 23.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.3.1

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) + 4 (- 6 x) \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Этап 23.3.2

Умножим $- 6$ на $4$ .

$\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$

Этап 23.4

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)} (8 x^{3} - 6)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)}$

Этап 23.5

Вынесем множитель $8 x \ln (3)$ из $8 x^{4} \ln (3) - 24 x \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.5.1

Вынесем множитель $8 x \ln (3)$ из $8 x^{4} \ln (3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) - 24 x \ln (3)}$

Этап 23.5.2

Вынесем множитель $8 x \ln (3)$ из $- 24 x \ln (3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)}$

Этап 23.5.3

Вынесем множитель $8 x \ln (3)$ из $8 x \ln (3) (x^{3}) + 8 x \ln (3) (- 3)$ .

$(8 x^{3} - 6) \frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Этап 23.6

Умножим $8 x^{3} - 6$ на $\frac{1}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$ .

$\frac{8 x^{3} - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Этап 23.7

Сократим общий множитель $8 x^{3} - 6$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.7.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x^{3}$ .

$\frac{2 (4 x^{3}) - 6}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Этап 23.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Этап 23.7.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4 x^{3}) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{8 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$

Этап 23.7.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 23.7.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8 x \ln (3) (x^{3} - 3)$ .

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

Этап 23.7.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 x^{3} - 3)}{2 (4 x \ln (3) (x^{3} - 3))}$

Этап 23.7.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x^{3} - 3}{4 x \ln (3) (x^{3} - 3)}$