Математический анализ Примеры

$y = \log_{5} (e^{2 x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{5} (x)$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.2

Производная $\log_{5} (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{1}{e^{2 x} \ln (5)}$ .

$\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x}}{e^{2 x} \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (5)} \cdot 1$

Этап 3.6

Умножим $\frac{2}{\ln (5)}$ на $1$ .

$\frac{2}{\ln (5)}$