Математический анализ Примеры

$y = e^{4 \sin (3 x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 \sin (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 \sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 \sin (3 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 \sin (3 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 \sin (3 x)$ .

$e^{4 \sin (3 x)} \frac{d}{d x} [4 \sin (3 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (3 x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$e^{4 \sin (3 x)} (4 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)])$

Этап 2.2

Перенесем $4$ влево от $e^{4 \sin (3 x)}$ .

$4 \cdot e^{4 \sin (3 x)} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$4 e^{4 \sin (3 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$4 e^{4 \sin (3 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$4 e^{4 \sin (3 x)} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 e^{4 \sin (3 x)} \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$12 e^{4 \sin (3 x)} \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 e^{4 \sin (3 x)} \cos (3 x) \cdot 1$

Этап 4.4

Умножим $12$ на $1$ .

$12 e^{4 \sin (3 x)} \cos (3 x)$