Математический анализ Примеры

$y = e^{x + 1} + 1$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{x + 1} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x + 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x + 1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$e^{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x + 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{x + 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.6

Умножим $e^{x + 1}$ на $1$ .

$e^{x + 1} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x + 1} + 0$

Этап 3.2

Добавим $e^{x + 1}$ и $0$ .

$e^{x + 1}$