Математический анализ Примеры

$y = \log_{5} (\sqrt{5 x + 9})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 9}$ в виде ${(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{5} (x)$ и $g (x) = {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\log_{5} (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x + 9$ .

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x + 9$ .

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 10

Перенесем ${(5 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 9])$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{{(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} ({(5 x + 9)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

Этап 12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

Этап 13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

Этап 13.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

Этап 14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

Этап 14.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 {(5 x + 9)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

Этап 15

Упростим.

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 9]$

Этап 16

По правилу суммы производная $5 x + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 17

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 19

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} (5 + \frac{d}{d x} [9])$

Этап 20

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} (5 + 0)$

Этап 21

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)} \cdot 5$

Этап 21.2

Объединим $\frac{1}{2 (5 x + 9) \ln (5)}$ и $5$ .

$\frac{5}{2 (5 x + 9) \ln (5)}$

Этап 22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5}{(2 (5 x) + 2 \cdot 9) \ln (5)}$

Этап 22.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5}{2 (5 x) \ln (5) + 2 \cdot 9 \ln (5)}$

Этап 22.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.3.1

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 2 \cdot 9 \ln (5)}$

Этап 22.3.2

Умножим $2$ на $9$ .

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 18 \ln (5)}$